Classes
- 16.323 Principles of Optimal Control
- 18.152 Introduction to Partial Differential Equations
Lagrange Multipliers
\(\min_u F(x, u)\) such that \(f(x, u) = 0\).
여기서, \(x\)는 constraint \(f\)에 의해 \(u\)에 종속되는 변수들이라고 가정하자.
Define a Lagrangian function \(L(x, u, \lambda) = F(x,u) + \lambda^T f(x, u)\), while \(\lambda\) is Lagrangian multipliers.
우리는 \(x\)를 어떻게 바꾸어도 \(L\)이 변하지 않게 만드는 \(\lambda\)를 구하고 싶다. 다시 말해서,
\(\frac{\delta L}{\delta x} = \frac{\delta F}{\delta x} + \lambda^T \frac{\delta f}{\delta x} = 0\)
\(\Rightarrow \lambda^T = - \frac{\delta F}{\delta x} \bigg( \frac{\delta f}{\delta x} \bigg)^{-1}\)
또한, 제약을 만족시키기 위해 우리는 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.
\(df = \frac{\delta f}{\delta x}dx + \frac{\delta f}{\delta u}du = 0\)
\(\Rightarrow dx = - \bigg( \frac{\delta f}{\delta x} \bigg)^{-1} \frac{\delta f}{\delta u} du\)
마지막으로,
\(dF = \frac{\delta F}{\delta x}dx + \frac{\delta F}{\delta u}du\)
\( = \bigg( \frac{\delta F}{\delta u} + \lambda^T \frac{\delta f}{\delta u} \bigg) du\)
\(= \frac{\delta L}{\delta u} du\)
그러므로, \(\frac{\delta L}{\delta u}\)가 0으로 고정되어 있을 때 우리는 고정점을 얻을 수 있다.
정리하자면,
- \(\frac{\delta L}{\delta x} = 0\)
- \(\frac{\delta L}{\delta u} = 0\)
- \(\frac{\delta L}{\delta \lambda} = f(x, u) = 0\)
이를 2차원 공간상에서 공간적으로 재해석하면, 우리는 제약을 만족시키는 선에서 최소화 시키고자 하는 함수의 기울기가 0에 수렴하는 곳을 찾으려 한다. 다시 말해서, 우리는 제약선의 수선과 목적함수의 수선이 제약선상에서 일치하는 곳을 찾으려 한다.
일반화 하자면, "We want to find a point that it is possible to express the objective gradient as a linear combination of the constraint gradients." 그리고 \(\lambda\)는 그 확장의 계수들이다.
Forward Dynamics Problems
- Newton-Euler method
- Linear accelerations (Newton's) / Rotational accelerations (Euler's)
- A good explanation and example is on E. Otten
- Lagrange's method
- Interpret one into degree of freedom
- \(\frac{d}{dt} \bigg( \frac{\delta L}{\delta \dot{q_i}} \bigg) - \frac{\delta L}{\delta q_i} = F_i\)
where \(L\) is the Lagrangian, i.e., the difference between kinetic and potential energy, and \(q\) is a generalized coordinate or degree of freedom of the system. - The number of equations is lower than the Newton-Euler approach.